Класс: 3
Учебник: «Математика» М.И.Моро
Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.
Задачи урока:
- раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
- развивать самостоятельность, внимание, мышление;
- формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.
Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.
Структура урока включала в себя:
- Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
- Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
- Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
- Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
- Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
- Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
- Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.
В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.
Ход урока
| Цель этапа | Содержание этапа | Деятельность ученика | ||||||||||||
| 1. Орг. момент | ||||||||||||||
| Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. | Стимулирование на учебную деятельность
. Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула. Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично. |
Организация рабочего места, проверка посадки. | ||||||||||||
| 2. Мотивация. | ||||||||||||||
| Стимулирование познавательной активности, активизация мыслительного процесса |
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания. Устный счёт. Проверка знания табличного умножения: |
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения. | ||||||||||||
| А) найди лишнее число: 2 4 6 7 10 12 14 6 18 24 29 36 42 Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить. |
Нахождение лишнего числа. | |||||||||||||
| Б) вставьте пропущенные числа: … 16 24 32 … 48 … |
Добавление недостающего числа. | |||||||||||||
| Создание проблемной ситуации
Задания в парах: В) расставьте примеры в 2 группы: Почему так распределили? (с ответом 4 и 5). |
Классификация примеров по группам. | |||||||||||||
| Карточки: 8·7-6+30:6= 28:(16:4)·6= 30-(20-10:2):5= 30-(20-10·2):5= |
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам. | |||||||||||||
| Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример? Все ли примеры вы смогли решить? У кого возникли затруднения? Чем этот пример отличается от остальных? Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером? |
Нахождение затруднения. Выявление недостающего знания, причины затруднения. |
|||||||||||||
| Постановка учебной задачи. Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число. Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)· Приведите примеры. Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0. Подходят ли эти правила к нашему примеру? Как же он поведёт себя при елении? |
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером. | |||||||||||||
| Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно. Таблица на доске. Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число. |
Выдвижение гипотезы, | |||||||||||||
| Как же найти верное решение? С каким действием связано умножение? (с делением) Приведите пример 2 · 3 = 6 6: 2 = 3 Можем ли мы теперь 0:5? Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0. х·5=0 Это число 0. Значит, 0:5=0. Приведите свои примеры. |
поиск решения на основе ранее изученного, | |||||||||||||
| Формулирование правила. Какое же правило теперь можно сформулировать? При делении 0 на число получается 0. 0: а = 0. |
Решение типовых заданий с комментированием. Работа по схеме (0:а=0) |
|||||||||||||
| 5. Физминутка. | ||||||||||||||
| Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления. | ||||||||||||||
| 6. Автоматизация знаний. | ||||||||||||||
| Выявление границ применимости нового знания. | В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений) |
Использование полученных знаний в разных заданиях. Работа в группах. |
||||||||||||
| Что неизвестно в этих уравнениях? Вспомните, как узнать неизвестный множитель. Решите уравнения. Какое решение в 1 уравнении? (0) Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя) |
Обращение к ранее изученным умениям. | |||||||||||||
| ** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) | Для сильных уч-ся творческое задание | |||||||||||||
| 7. Самостоятельная работа. | ||||||||||||||
| Развитие самостоятельности, познавательных способностей | Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой. №6 |
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль. Сильные ученики проверяют и помогают более слабым. |
||||||||||||
| 8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач. | ||||||||||||||
| Формирование навыка решения задач. | Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0? (Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.) Тогда будем решать задачи, где есть другие числа. Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица) Какие столбики в таблице надо записать? Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии? |
Работа над задачей с использованием таблицы. Планирование решения задачи. Самостоятельная запись решения. Самоконтроль по образцу. |
||||||||||||
| 9. Рефлексия. Итоги урока. | ||||||||||||||
| Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка. |
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока? Какую цель ставили перед собой? Достигли вы её? С каким правилом познакомились? Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
| Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели. | ||||||||||||
| 10. Домашнее задание. | ||||||||||||||
Почему нельзя делить на ноль? Кто запретил? Школа упрямо запрещает нам делить на 0, но стоит переступить порог университета - индульгенция получена. То, что в школе считалось запретом, теперь возможно. Можно поделить на ноль и получить бесконечность. Высшая математика… Ну почти. Можно объяснить и попроще.
История и философия ноля
На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы - философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.
В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами .
Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.
Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей - какого размера получаться дольки? Получится бесконечное число «нулевых долек». Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей - лимонный сок.
Достаточно задать самому себе вопрос:
Если деление на бесконечность дает ноль, то деление на ноль должно давать бесконечность.
х/ ∞=0 значит и х/0=∞
Что будет если поделить на ноль?
Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично:
а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0
А отсюда: а=b
То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения. Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 .
Делим 4 на ноль - нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: «Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?»
Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.
А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть - бесчисленное множество решений. Так что же получится в итоге?
Простое объяснение из жизни
Вот вам задачка из физики и реальной жизни. Допустим, мы хотим вычислит за сколько времени сможем пройти 10 километров. Значит Скорость * время = расстояние (S=Vt). Чтобы узнать время, расстояние делим на скорость (t=S/V). А что будет, если скорость у нас 0? t=10/0. Будет бесконечность!
Стоим на месте, скорость равна нулю, и с такой скоростью мы будем вечно добираться до отметки в 10 км. Значит время будет… t=∞. Вот и получилась у нас бесконечность!
И в этом примере делить на ноль можно, жизненный опыт позволяет. Жаль, что учителя в школе не могут объяснять такие вещи так же просто.
Еще одно объяснение
Давайте определимся, что такое деление? Например, 8/4 – означает вопрос «сколько четверок, может поместится в восьмерке?» Ответ: «две четверки», то есть математически 8/4=2.
А если задать себе вопрос 5/0=? Сколько нолей поместится внутри пятерки? Да сколько угодно. Бесконечное количество.
Но если вместо абстрактных цифр взять материальные вещи, например, яблоко. 6/3 - «если разложить 6 яблок по 3 в ящики,то сколько нужно ящиков?» Ответ: «2 ящика». Идем дальше 4/0 - «если разложить 4 яблока по ноль(!) штук в ящики, то сколько…» Получится, что ящики то не нужны, мы ничего никуда не кладем!
Совсем простое объяснение
10/2 =5 10/4 =2,5 10/8 =1,25 ….Чем больше число в знаменателе, тем меньше результат
10/2 =5 10/1 =10 10/1,5 =20 ….Чем меньше число в знаменателе, тем больше результат, а если взять очень маленькое число? Например, 0,0000001 получится 1 00 000 000. И если пойти дальше в своих размышлениях и уменьшить знаменатель до нуля? В итоге получим что настолько огромное, что будет называться «бесконечность».
Так можно ли делить на ноль?
Все зависит от того, зачем вам это нужно и в рамках каких правил вы решили «разделять». Если это алгебра, то все просто «на ноль делить нельзя» потому, что нет такого понятия как «бесконечность» (это вообще-то и не число вовсе), и неясно что должно получится в итоге.
Можно ли делить на ноль в высшей математике - да пожалуйста. Ведь нуль может быть представлен цифрой ноль (цифра означает число со значением «0», то есть вообще ничего), а может и неким бесконечно малым (то есть стремится к нулю, почти ничего, но все таки - не ничто ). Тогда ничего не мешает спокойно делить на «бесконечно малое».
Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее - высшая математика. Так что, в некотором роде, делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно… Но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.
В математике деление на ноль – невозможно! Одним из способов для объяснения данного правила является анализ процесса, который показывает, что происходит, когда одно число разделено на другое.
Ошибка деления на ноль в Excel
В реальности операция деление это по сути тоже что и вычитание. Например, деление числа 10 на 2 является многократным вычитанием 2 от 10-ти. Многократность повторяется до той поры пока результат не будет равен 0. Таким образом необходимо число 2 вычитать от десяти ровно 5 раз:
- 10-2=8
- 8-2=6
- 6-2=4
- 4-2=2
- 2-2=0
Если же попробовать разделить число 10 на 0, никогда мы не получим результат равен 0, так как при вычитании 10-0 всегда будет 10. Бесконечное количество раз вычитаний ноля от десяти не приведет нас к результату =0. Всегда будет один и ото же результат после операции вычитания =10:
- 10-0=10
- 10-0=10
- 10-0=10
- ∞ бесконечность.
В кулуарах математиков говорят, что результат деления любого числа на ноль является «не ограниченным». Любая компьютерная программа, при попытке деления на 0, просто возвращает ошибку. В Excel данная ошибка отображается значением в ячейке #ДЕЛ/0!.
Но при необходимости можно обойти возникновения ошибки деления на 0 в Excel. Просто следует пропустить операцию деления если в знаменателе находится число 0. Решение реализовывается с помощью помещения операндов в аргументы функции =ЕСЛИ():
Таким образом формула Excel позволяет нам «делить» число на 0 без ошибок. При делении любого числа на 0 формула будет возвращать значение 0. То есть получим такой результат после деления: 10/0=0.
Как работает формула для устранения ошибки деления на ноль
Для работы корректной функция ЕСЛИ требует заполнить 3 ее аргумента:
- Логическое условие.
- Действия или значения, которые будут выполнены если в результате логическое условие возвращает значение ИСТИНА.
- Действия или значения, которые будут выполнены, когда логическое условие возвращает значение ЛОЖЬ.
В данном случаи аргумент с условием содержит проверку значений. Являются ли равным 0 значения ячеек в столбце «Продажи». Первый аргумент функции ЕСЛИ всегда должен иметь операторы сравнения между двумя значениями, чтобы получить результат условия в качестве значений ИСТИНА или ЛОЖЬ. В большинстве случаев используется в качестве оператора сравнения знак равенства, но могут быть использованы и другие например, больше> или меньше >. Или их комбинации – больше или равно >=, не равно!=.
Если условие в первом аргументе возвращает значение ИСТИНА, тогда формула заполнит ячейку значением со второго аргумента функции ЕСЛИ. В данном примере второй аргумент содержит число 0 в качестве значения. Значит ячейка в столбце «Выполнение» просто будет заполнена числом 0 если в ячейке напротив из столбца «Продажи» будет 0 продаж.
Если условие в первом аргументе возвращает значение ЛОЖЬ, тогда используется значение из третьего аргумента функции ЕСЛИ. В данном случаи - это значение формируется после действия деления показателя из столбца «Продажи» на показатель из столбца «План».
Формула для деления на ноль или ноль на число
Усложним нашу формулу функцией =ИЛИ(). Добавим еще одного торгового агента с нулевым показателем в продажах. Теперь формулу следует изменить на:
Скопируйте эту формулу во все ячейки столбца «Выполнение»:
Теперь независимо где будет ноль в знаменателе или в числителе формула будет работать так как нужно пользователю.
«Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.
Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.
Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.
Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .
Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.
Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.
Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.
Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)
Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.
Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.
Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.
Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.
Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.
Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, - , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.
Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 - 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.
А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот - увы, никак нельзя.
А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.
Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х - 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/ (х - 5). Сократим дроби на (х - 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.