Пространственная дискретизация .
В процессе кодирования изображения производится его пространственная дискретизация. Пространственную дискретизацию изображения можно сравнить с построением изображения из мозаики (большого количества маленьких разноцветных стекол). Изображение разбивается на отдельные маленькие фрагменты (точки, причем каждому фрагменту присваивается значение его цвета, то есть код цвета (красный, зеленый, синий и так далее).
Дискретизация - это преобразование графической информации из аналоговой формы в дискретную, то есть разбиения непрерывного графического изображения на отдельные элементы.
Качество кодирования изображения зависит от:
1) частотой дискретизации , т.е. размером фрагментов, на которые делится изображение. Качество кодирования изображения тем выше, чем меньше размер точки и соответственно большее количество точек составляет изображение.
Выбор частоты дискретизации - это всегда компромисс между качеством воспроизведения мелких деталей и степенью сокращения информации. Как правило, в процессе дискретизации изображения определяется, как говорят, его "формат", т.е. количество образующих его элементов. При этом, естественно, меняется и размер изображения. Поэтому, чтобы исключить влияние этого дополнительного фактора (размера изображения) на исследуемый параметр, в настоящей работе применен искусственный прием: при изменении условий дискретизации размер изображения искусственно поддерживается постоянным.
2) глубиной кодирования , т.е. количество цветов. Чем большее количество цветов, то есть большее количество возможных состояний точки изображения, используется, тем более качественно кодируется изображение (каждая точка несет большее количество информации). Совокупность используемых в наборе цветов образует палитру цветов.
Графическая информация на экране монитора представляется в виде растрового изображения, которое формируется из определенного количества строк, которые в свою очередь содержат определенное количество точек (пикселей).
Пиксель - минимальный участок изображения, цвет которого можно задать независимым образом.
Каждый цвет можно рассматривать как возможное состояние точки, тогда количество цветов, отображаемых на экране монитора, может быть вычислено по формуле: N = 2i, где i -глубина цвета:(если глубина цвета (I)=8, то2^8 = 256)
Задача 1 . Рассмотрим формирование на экране монитора растрового изображения, состоящего из 600 строк по 800 точек в каждой строке (всего 480 000 точек), В простейшем случае (черно-белое изображение без градаций серого цвета) каждая точка экрана может иметь одно из двух состояний - «черная» или «белая», то есть для хранения ее состояния необходим 1 бит.
ЗАДАЧА 2. Рассчитаем необходимый объем видеопамяти для одного из графических режимов, например, с разрешением 800 х 600 точек и глубиной цвета 24 бита на точку.
Всего точек на экране: 800 600 = 480 000. Необходимый объем видеопамяти:24 бит 480 000 = 11 520 000 бит = 1 440 000 байт = 1406,25 Кбайт = 1,37 Mбайт.
Обработка графической информации
Кодирование и обработка графической и мультимедийной информации
Пространственная дискретизация
Графическая информация может быть представлена в аналоговой и дискретной формах. Примером аналогового представления графической информации может служить живописное полотно, цвет которого изменяется непрерывно, а дискретного - изображение, напечатанное с помощью струйного принтера и состоящее из отдельных точек разного цвета.
Графические изображения из аналоговой (непрерывной) формы в цифровую (дискретную) преобразуются путем пространственной дискретизации . Пространственную дискретизацию изображения можно сравнить с построением изображения из мозаики (большого количества маленьких разноцветных стекол). Изображение разбивается на отдельные маленькие элементы (точки, или пиксели ), причем каждый элемент может иметь свой цвет (красный, зеленый, синий и т. д.).
Пиксель - минимальный участок изображения, для которого независимым образом можно задать цвет.
В результате пространственной дискретизации графическая информация представляется в виде растрового изображения , которое формируется из определенного количества строк, содержащих, в свою очередь, определенное количество точек (рис. 1.1).
Разрешающая способность. Важнейшей Характеристикой качества растрового изображения является разрешающая способность
Разрешающая способность растрового изображения определяется количеством точек как по горизонтали, так и по вертикали на единицу длины изображения.
Чем меньше размер точки, тем больше разрешающая способность (больше строк растра и точек в строке) и, соответственно, выше качество изображения. Величина разрешающей способности обычно выражается в dpi (dot per inch - точек на дюйм), т. е. в количестве точек в полоске изображения длиной один дюйм (1 дюйм = 2,54 см)
Пространственная дискретизация непрерывных изображений, хранящихся на бумаге, фото- и кинопленке, может быть осуществлена путем сканирования. В настоящее время все большее распространение получают цифровые фото- и видеокамеры, которые фиксируют изображения сразу в дискретной форме.
Качество растровых изображений, полученных в результате сканирования, зависит от разрешающей способности сканера, которую производители указывают двумя числами (например, 1200 х 2400 dpi)
Сканирование производится путем перемещения полоски светочувствительных элементов вдоль изображения. Первое число является оптическим разрешением сканера и определяется количеством светочувствительных элементов на одном дюйме полоски. Второе число является аппаратным разрешением ; оно определяется количеством "микрошагов", которое может сделать полоска светочувствительных элементов, перемещаясь на один дюйм вдоль изображения.
Глубина цвета. В процессе дискретизации могут использоваться различные палитры цветов , т. е. наборы цветов, в которые могут быть окрашены точки изображения. Каждый цвет можно рассматривать как возможное состояние точки. Количество цветов N в палитре и количество информации I, необходимое для кодирования цвета каждой точки, связаны между собой и могут быть вычислены по формуле:
В простейшем случае (черно-белое изображение без градаций серого цвета) палитра цветов состоит всего из двух цветов (черного и белого). Каждая точка экрана может принимать одно из двух состояний - "черная" или "белая", следовательно, по формуле (1.1) можно вычислить, какое количество информации необходимо, чтобы закодировать цвет каждой точки.
Cлайд 1
Cлайд 2
Графическое изображение Аналоговая (непрерывная) Визуальная, воспринимается глазами человека. Пример, живописное полотно Дискретная (цифровая) Скачкообразная, воспринимается вычислительной техникой. Пример, изображение созданное струйным принтером принтером Преобразуется путем пространственной дискретизации
Cлайд 3
Пространственная дискретизация- это способ преобразования аналоговой формы информации в цифровую (дискретную). Графическое изображение преобразуется в растровое изображение (состоит из определенного количества точек и строк). Механизм: Изображение разбивается на отдельные фрагменты (точки, или пиксели), причем каждый фрагмент имеет свой цвет.
Cлайд 4
Пиксель – минимальный участок изображения, для которого независимым образом задается цвет
Cлайд 5
Разрешающая способность- определяет количество точек по горизонтали и вертикали на единицу длины изображения. Единица длины 1 дюйм=2,54 см Единица измерения разрешающей способности растрового изображения – dpi
Cлайд 6
Пространственная дискретизация- На практике осуществляется: Цифровыми фото- и видеокамерами; Сканированием.
Cлайд 7
Технология сканирования По поверхности изображения перемещается полоска светочувствительного элемента. Качество изображения, при этом, зависит от разрешающей способности сканера. Например, 1200х2400 dpi Оптическое разрешение, кол-во светочувствительных элементов на 1 дюйм полоски Аппаратное разрешение, кол-во «микрошагов», которые делает полоска светочувствительных элементов, перемещаясь на 1 дюйм вдоль изображения
Cлайд 8
Палитра цветов Набор цветов которые могут принимать точки изображения. При дискретизации, каждый минимальный участок изображения (точка или пиксель) получает определенный цвет из используемой палитры цветов.
Cлайд 9
Цвет точки – возможное ее состояние. N – количество цветов в палитре J – кол-во информации, необходимое для кодирования цвета точки. Пример, черно-белое изображение, N=2, т.е. всего одно из двух возможных состояний- белое или черное. J= 1 бит Количество информации, которое необходимо для кодирования цвета точки изображения, наз-ся глубиной цвета (J)
Cлайд 10
Глубина цвета и количество цветов в палитре Глубина цвета,J(битов) Кол-во цветов в палитре,N 8 2^8=256 16 2^16=65 536 24 2^24=16 777 216
Пространственная дискретизация. В процессе кодирования изображения производится его пространственная дискретизация. Изображение разбивается на отдельные маленькие фрагменты - точки. каждой фрагменту присваивается значение его цвета, то есть код цвета (красный, зеленый, синий и так далее) Качество кодирования изображения зависит от двух параметров: размера точки - качество кодирования изображения тем выше, чем меньше размер точки и соответственно большее количество точек составляет изображение. количества цветов, - чем большее количество цветов, используется, тем более качественно кодируется изображение (каждая точка несет большее количество информации). Совокупность используемых в наборе цветов образует палитру цветов.
Формирование растрового изображения. Графическая информация на экране монитора представляется в виде растрового изображения, которое формируется из определенного количества строк, которые в свою очередь содержат определенное количество точек (пикселей). Качество изображения определяется разрешающей способностью монитора, т.е. количеством точек, из которых оно складывается. Чем больше разрешающая способность, то есть чем больше количество строк растра и точек в строке, тем выше качество изображения. В современных персональных компьютерах обычно используются три основные разрешающие способности экрана: 800 х 600, 1024 х х Изображение черно-белое без градаций серого цвета состоит из 600 строк по 800 точек в каждой строке (всего точек), то каждая точка экрана может иметь одно из двух состояний «черная» или «белая», то есть для хранения ее состояния необходим 1 бит. Цветные изображения формируются в соответствии с двоичным кодом цвета каждой точки, хранящимся в видеопамяти. Цветные изображения могут иметь различную глубину цвета, которая задается количеством битов, используемым для кодирования цвета точки. Наиболее распространенными значениями глубины цвета являются 8, 16, 24 или 32 бита.
Качество двоичного кодирования изображения определяется разрешающей способностью экрана и глубиной цвета. Каждый цвет можно рассматривать как возможное состояние точки, тогда количество цветов, отображаемых на экране монитора, может быть вычислено по формуле N = 2 I, где I глубина цвета Формирование растрового изображения
Глубина цвета и количество отображаемых цветов Глубина цвета (I)Количество отображаемых цветов (N) 82 8 = (High Color)2 16 = (True Color)2 24 = (True Color)2 32 = Цветное изображение на экране монитора формируется за счет смешивания трех базовых цветов: красного, зеленого и синего. Такая цветовая модель называется RGB-моделью по первым буквам английских названий цветов (Red, Green, Blue). Для получения богатой палитры цветов базовым цветам могут быть заданы различные интенсивности. Например, при глубине цвета в 24 бита на каждый из цветов выделяется по 8 бит, то есть для каждого из цветов возможны N = 2 8 = 256 уровней интенсивности, заданные двоичными кодами (от минимальной до максимальной)
Формирование цветов при глубине цвета 24 бита Название цвета Интенсивность КрасныйЗеленыйСиний Черный Красный Зеленый Синий Голубой Желтый Белый
Графический режим. Графический режим вывода изображения на экран монитора определяется величиной разрешающей способности и глубиной цвета. Для того чтобы на экране монитора формировалось изображение, информация о каждой его точке (код цвета точки) должна храниться в видеопамяти компьютера. Пример 1 Рассчитаем необходимый объем видеопамяти для одного из графических режимов, например, с разрешением 800 х 600 точек и глубиной цвета 24 бита на точку. Всего точек на экране: = Необходимый объем видеопамяти: 24 бит = бит = байт = 1406,25 Кбайт = 1,37 Мбайт. Аналогично рассчитывается необходимый объем видеопамяти для других графических режимов. В Windows предусмотрена возможность выбора графического режима и настройки параметров видеосистемы компьютера, включающей монитор и видеоадаптер.
Пример 2 Сканируется цветное изображение размером см. Разрешающая способность сканера 600 dpi и глубина цвета 32 бита. Какой информационный объем будет иметь полученный графический файл.
Решение Переведем разрешающую способность сканера из точек на дюйм в точки на сантиметр: 600 dpi: 2, точек/см Следовательно, размер изображения в точках составит точек. Общее количество точек изображения равно: = Информационный объем файла равен: 32 бит = бит 21,25 Мбайт
Вопросы 1.В чем состоит суть метода пространственной дискретизации? 2.Объясните принцип формирования растрового изображения. 3.Какими параметрами задается графический режим, в котором изображения выводятся на экран монитора? Задания Используются графические режимы с глубинами цвета 8, 16, 24 и 32 бита. Вычислить объемы видеопамяти, необходимые для реализации данных глубин цвета при различных разрешающих способностях экрана.
Кардинальной проблемой численного моделирования миграционных процессов является дискретизация в пространстве и во времени. При пространственной дискретизации наиболее часто употребляются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных эле-
|
Рис. 24. Схема квадратной ячейки сеточной модели миграционного потока: ■а - параметры свойств; б - результаты миграционного расчета. / - первичные результаты; 2 - билинейная интерполяция; 3 к 4 - расчетный и соседние узлы сеткн. Ментов (МКЭ), основные положення которых описаны, например, в работах . В дальнейшем будем рассматривать только МКР, позволяющий более наглядно представить разностную модель процесса. При этом используются консервативные разностные схемы, в основе которых находится составление баланса вещества в блоке (ячейке), относящемся к каждой узловой точке (метод составных ячеек ). При этом для каждой ячейки определяют конвективные притоки и оттоки мигрантов при помощи линейной интерполяции между соседними узлами (что соответствует основной разности МКР) или используют значение концентраций с узла, из которого поступает мигрант (что соответствует обратной разности МКР). Для определения притока и оттока мигранта вследствие дисперсии используются также первые частные производные концентрации с перпендикулярно и параллельно границам ячеек, которые можно билинейно установить по соседним значениям. Рассмотрим основные положения решения проблемы дискретизации применительно к двумерному конвективно-дисперсионному потоку в гомогенной среде с учетом процессов распада по уравнению (3.8) при Кос-Я и действия миграционных источников-стоков с интенсивностью w. В таком случае дифференциальное уравнение конвективно-диффузионного переноса нейтрального мигранта в двумерном потоке (с координатами xt при хх=х и х2-у) имеет вид TOC \o "1-3" \h \z д / г\ дс \ , де і, дс, ID,------ І + ^і------------ ас 4- w = л0 -- . (7.1) Если знак q выявляется только в результате расчета, то в общем справедливо соотношение 2qmkc _ (gtnk _J_ gmk) ck _J_ (qtnk _ [ qmk I) Таким образом, получают линейную систему уравнений с п уравнениями (л - число ячеек с определяемыми значениями с), асимметричная матрица коэффициентов которых указывает на каждые четыре занятых верхних и нижних кодиагонала наряду с основными диагоналями. Изображаемые таким способом вычислительные модели миграции примерно равнозначны моделям (матричным уравнениям), сформулированным с помощью нормального МКР, а также моделям МК. Э с помощью линейной аппроксимации функций. Преимущество такой системы состоит в том, что здесь гарантируется максимальная наглядность математического описания процесса. В настоящее время при численном моделировании миграции почти исключительно используют для временной производной частную разность первого порядка и строят модель миграции, учитывая важность двух временных уровней. Тогда уравнение (7.1) для миграционной модели имеет вид
Неявная (см. рис. 25, б); у=\/2- Кранка - Никольсона (см. рис. 25, в); 7=2/3 - Галеркина (см. рис. 25, в). Для Vе (0; 2/3; 1) доказывается порядок аппроксимации 0(Д0 и для y=: 1/2-0 (Дt) , Из разложения функций в ряд Тейлора следует, что численную дисперсию вызывают как Требует тонкой дискретизации. Даже обеспечение возможности коррекции коэффициента дисперсии DKop согласно выражению TOC \o "1-3" \h \z Асор = D - [ I * I Д*/2 + А^2/(2я0)] > 0 (7:6) Не исключает значительных затрат по дискретизации^ Для характеристики дискретизации процессов миграции пользуются безмерными числами, получаемыми из уравнения (7.3): 0 I v I Ах Ах Дtv* At I v I Редх = --! ж и Di А для характеристики осцилляций - производными характеристиками РеЛд: П0 Ах Ах П0 Ах2 Из уравнения следует, что значительные затраты на пространственную дискретизацию миграционных процессов оправданы лишь, когда одинаковый порядок величин имеет также погрешность временной дискретизации. Поэтому схема Крайка-Николь - сона с погрешностью порядка At2 часто используется в моделировании, несмотря на связанные с этим опасения в отношении стабильности. Ее повышение достигается с помощью метода «предиктор-корректор» Г10]. При этом согласно неявной схеме решения (Y=1) рассчитывается полушаг At/2 при исходном положении всех параметров ко времени t и определяются значения с*+Л(12. Затем по схеме Крайка-Никольсона (у= 1/2) реализуется весь шаг At, причем все параметры миграции, члены источников-стоков, обмена и замещения, а также член конвекции задаются на момент времени t+At/2. Таким образом, вычислительная модель уравнения (7.2) при полном шаге получается в таком виде (см. рис. 25): Причем для dc/dt надо подставить одно-, дву - или трехмерное исходное.дифференциальное уравнение, а для d2c/dt2 его производную. Наконец, очень значительная точность аппроксимации достигается благодаря тому, что временная производная учитывается не только в точке п (это в общем виде относится также к членам источников-стоков ic и да), но и на соседних узлах. В наиболее простой форме эту подстановку осуществляют по правилу Симп - сона: dc/dt-(1/6) [{dc/dt)a-.i+4(dc/dt)n+(dc/di)n-1]. На рис. 25, е приведена также конечно-разностная схема для одномерных процессов миграции, предложенная Г. Стояном. Эта схема дает возможность управлять вычислением всех частных производных и получать стабильные и точные численные решения, особенно для случаев чистой дисперсии или чистой конвекции. Выбранный численный метод пригоден лишь в тех случаях, когда численное решение стремится к точному при уменьшающейся ширине. шага, т. е. когда этот метод является сходящимся. Численная дисперсия вызывается прежде всего дискретностью членов:конвекции и емкости (аккумуляции), т. е. первыми производными зависимых переменных. Это может приводить к значительным погрешностям при моделировании миграционных процессов с? небольшим коэффициентом дисперсии £>, величина которых для различных численных моделей миграции получается в зависимости от Ре^лг и числа Di или Сг. Благодаря введению исправ< ленных. коэффициентов дисперсии [см., например, уравнение (7.6)] значительно уменьшаются погрешности и в простых дискретных схемах. (Стабильные обратные разности членов конвекции и аккумуляции, а также МК. Э с линейными пространственными и временными начальными функциями приводят к значительной численной дисперсии или требуют очень тонкой локальной и временной дискретизации. Численные осцилляции происходят в определенных условиях и, как правило, определяются сравнением с соответствующими аналитическими решениями. Опасность колебаний возникает преимущественно в процессах с доминирующей конвекцией. Особенно подвержены осцилляциям схема Кранка-Никольсона, основная разность членов конвекции или аккумуляции и формулировка МКЭ Наряду с погрешностями дискретности имеют значение также погрешности в стабильности, вытекающие из ограниченного количества численных расчетов. Безусловно стабильной считается численная модель миграции, если численная погрешность (округления) уменьшается от одного временного шага к другому, а условно стабильной - если это происходит только при определенных условиях. Эти условия для особых случаев аналитически представлены в работе . Таким образом, сравнением с аналитическими решениями фиксируется условие стабильности при заданной пространственной дискретизации путем установления критической величины временного шага через критические числа Di или Сг. Безусловно стабильной является неявная схема решения с у-1, причем с уменьшением у возрастает склонность к нестабильности. Численное решение составленной системы уравнений (матричное уравнение) также таит в себе возможности погрешностей. К очень большим погрешностям, сильно распространяющимся при условном стабильном методе, может приводить решение системы уравнений с плохо выраженными условиями, у которых элементы основных диагоналей матрицы коэффициентов в недостаточной степени преобладают по сравнению с основными диагоналями кодиа - гоналей. Значительные погрешности в решении уравнений может вызывать решение всей системы уравнений с помощью частного метода шагов (например, неявного метода переменных направлений) и переноса элементов матрицы коэффициентов в правую ч"асть уравнений путем умножения на временные или итеративно зависимые переменные с обратной датировкой для создания ленточных матриц с незначительной шириной ленты (преимущественно тридиаго - нальные матрицы коэффициентов). По этой причине следует тщательно проверять и контролировать программы компьютера па численному моделированию миграции, особенно путем сравнения с аналитическими решениями. На основе численного решения производится первичное определение числа опорных точек в пространственно-временной сетке. Число опорных точек по времени или по размеру итерационного шага при нелинейном решении указывает количество определяемых локально-дискретных значений зависимых переменных (Я или иногда vx, vy, с) и таким образом влияет на число уравнений системы. Затраты времени на одноразовое решение этой системы уравнений являются основной величиной для оценки затрат; они зависят от типа ЭВМ, используемого метода для решения системы 124 уравнений и качества генерированной вычислительной программы. Если эти затраты умножить на число временных или итерационных шагов, необходимых для моделирования, и прибавить к этому затраты времени на корректирование матриц коэффициентов и правой стороны уравнений, то получится время, необходимое для математического моделирования на ЭВМ. Потребность в месте накопителей для математического моделирования многомерных процессов миграции определяется прежде всего потребностью в месте накопления подпрограммы для решения системы уравнений. |
